Системы счисления

02.12.2011 11974 876

Системы счисления

1.Вы знакомы с римскими цифрами. Первые три из них - I , V , X . Их легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных ра­венств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переносить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

а)VII - V = XI ;

б)IX -V = VI ;

в)VI -IX =111;

г)VIII -111 = X .

2. Какие числа записаны римскими цифрами?

а) MCMXCIX ;

б) CMLXXXVIII ;

в) MCXLVII .
Что это за числа?

3. В некоторой непозиционной системе счисления цифры
обозначаются геометрическими фигурами. Ниже пред­ставлены некоторые числа этой системы счисления и
соответствующие им числа десятичной системы счис­ления:

4. Трехзначное десятичное число оканчивается циф­рой 3. Если эту цифру сделать первой слева, то есть с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найти исходное число.

5. Шестизначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить из конца числа в начало, то есть приписать ее перед первой, не изменяя порядка осталь­ных пяти, то получится число, которое в четыре раза больше первоначального. Найти это число.

6. Некогда был пруд, в центре которого рос один лист во­дяной лилии. Каждый день число таких листьев удва­ивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитать, сколько листьев выросло к десято­му дню.

7. Этот случай вполне мог иметь место во времена «золо­той лихорадки». На одном из приисков старатели были возмущены действиями Джо Макдоналда - хо­зяина салуна, принимавшего от них в уплату золотой песок. Очень уж необычными были гири, с помощью которых тот взвешивал золото: 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64 грамма. Джо утверждал, что с помощью такого на­бора гирь он может взвесить любую порцию золотого песка, не превышающую 100 граммов. Прав ли Джо Макдоналд? Какой наибольший вес можно измерить с помощью таких гирь? Как с помощью названных гирь набрать вес: а) 24 г; б) 49 г; в) 71 г; г) 106 г?

8. Найти такой набор из 5 гирь, чтобы, располагая их на одной чаше весов, молено было бы взвесить любой груз до 31 кг включительно с точностью до 1 кг.

9. Каким наименьшим числом гирь можно взвесить груз от 1 до 63 кг включительно с точностью до 1 кг, поме­щая гири только на одну чашку весов?

10. У одного путешественника не было денег, но была зо­лотая цепочка из семи звеньев. Хозяин гостиницы, к которому обратился путешественник с просьбой о ночлеге, согласился держать постояльца и установил плату: одно звено цепочки за одни сутки проживания. Какое одно звено достаточно распилить, чтобы путешествен­ник мог остановиться в гостинице на любой срок в пре­делах от 1 до 7 суток?

11. Можно ли с помощью трех гирь (1, 3 и 9 кг) взвесить с точностью до 1 кг любой груз до 13 кг включительно, если гири можно располагать на обеих чашах весов, в том числе и на чаше с грузом?

12. Кладовщик одного склада оказался в большом затруд­нении: заказанный комплект гирь для простых ча­шечных весов не прибыл к сроку, а на соседнем складе лишних гирь тоже не было. Тогда он решил подобрать несколько кусков железа разной массы и временно пользоваться ими как гирями. Ему удалось выбрать такие четыре «гири», с помощью которых можно было бы взвешивать с точностью до 100 г товар от 100 г до 4 кг. Какие массы имели эти «гири»?

13. Чудесная таблица. Изобразим все числа от 1 до 15 в двоичной системе. Выпишем эти числа в занумеро­ванные четыре строки, придерживаясь следующего правила: в строку I с точностью до 1 кг записывать все числа, в двоичном изображении которых есть едини­ца первого разряда (сюда попадут все нечетные чис­ла); в строку II - все числа, у которых есть единица второго разряда; в строку III - все числа, имеющие единицу третьего разряда, и в строку IV - все числа, имеющие единицу четвертого разряда. Таблица будет иметь вид:

Теперь можно кому-нибудь предложить задумать лю­бое число от 1 до 15 и назвать все строки таблицы, в которых оно записано. Пусть, к примеру, задуманное

число находится в строках I и III . Значит, задуманное число содержит единицы первого и третьего разрядов, а единиц второго и четвертого разрядов в нем нет. Следовательно, задумано число Ю1 2 = 5 10 . Этот ответ можно дать, не глядя в таблицу.

Изобразить все числа от 1 до 31 в двоичной системе и заполнить соответствующую таблицу из пяти строк. Попробовать провести эту игру со своими друзьями.

14.Используя метод разностей, запишите следующие
числа:

а)в восьмеричной системе счисления: 7, 9, 24, 35, 57, 64;

б) в пятеричной системе счисления: 9,13, 21, 36, 50, 57;

в) в троичной системе счисления: 3, 6, 12, 25, 27, 29;

г)в двоичной системе счисления: 2, 5, 7, 11, 15, 25.

15.Для записи больших десятичных чисел в других системах счисления надо данное число нацело разделить на
основание новой системы, частное опять разделить на
основание новой системы и так до тех пор, пока не по­
лучим частное, меньшее основания новой системы.
Воспользоваться этим правилом для перевода числа
2005 в следующие системы счисления:

а)восьмеричную;

б) пятеричную;

в)двоичную.

16.Задача-игра «Угадывание задуманного числа по от­
резкам». Один из учеников (ведущий) задумывает не­
которое трехзначное число, мысленно делит задуман­ное число пополам, полученную половину опять
пополам и т. д. Если число нечетное, то из него перед
делением вычитается единица. При каждом делении
ведущий чертит на доске отрезок, направленный вер­тикально, если делится нечетное число, и горизон­тально, если делится четное число. Как на основании
полученной фигуры безошибочно определить заду­
манное число?

17. Какое минимальное основание имеет система счисле­ния, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определить десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

18. Записать наибольшее двузначное число и определить его десятичный эквивалент для следующих систем счисления:

а)восьмеричной;

б) пятеричной;
в)троичной;

г) двоичной.

19.Записать наименьшее трехзначное число и определите
его десятичный эквивалент для следующих систем
счисления:

а)восьмеричной;

б) пятеричной;
в)троичной;

г) двоичной.

20. Упорядочить числа по убыванию. 143 6 ; 50 9 ; 1222 3 ; 1011 4 ; 110011 2 ; 123 8 .

Скачать материал

Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.

Тема: «Системы счисления»

СКОЛЬКО ЛЕТ ДЕВОЧКЕ

Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила - Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно, Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ

(А. Стариков)

• (А. Стариков)
• (А. Стариков)
• (А. Стариков)
• (А. Стариков)

ОТВЕТ: 12 лет, 5 класс, 4 книги.

Один мальчик так написал о себе: «У меня 24 пальца, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как это могло быть?

Ответ: Так как 5+5=12, то речь идет о восьмеричной системе счисления. Так что мальчик наш абсолютно нормальный ребенок, изучивший восьмеричную систему счисления.

ОТВЕТ. «Переведем» условие задачи в двоичную систему счисления. В классе 60% девочек и 12 мальчиков. Следовательно, в классе 30 учеников.

• В математической олимпиаде участвовало 13 девочек и 54 мальчика, а всего 100 человек. В какой системе счисления записаны эти сведения?

ОТВЕТ 13 +54 100 3+4=10 в семеричной системе счисления.

• Пифагорийцы говорили: “Всё есть число”, почему? А вы согласны с этим лозунгом?

• Современного человека повсюду окружают числа: номера телефонов, машин, паспорта, стоимость товаров, покупки. Числа были всегда и 4 и 5 тыс. лет назад, только правила изображения их были другими. Но смысл был один: числа изображались с помощью определенных знаков – цифр. Так что же такое цифра?

• Цифра-символ, участвующий в записи числа и составляющий некоторый алфавит.

• чем отличается цифра от числа? И что же такое число?

• Числа состоят из цифр.

• Итак, число-величина, которая складывается из цифр по определенным правилам. Эти правила получили название Система счисления.

В комнате веселилось 1425 мух. Петр Петрович открыл форточку и, размахивая полотенцем, выгнал из комнаты 225 мух. Но прежде чем он успел закрыть форточку, 213 мух вернулись обратно. Сколько мух теперь веселится в комнате?

ОТВЕТ. Переведем все в десятичную систему счисления и выполним вычисления в соответствии с условием задачи 47 – 12 + 7 = 42.

Системы счисления в заданиях ГИА

Цели урока:

• обучающая

• повторить и систематизировать знания по основным понятиям темы «Позиционные системы счисления»;
• отработать навыки переводов чисел из любой позиционной СС в десятичную и обратно;
• развить умение решения задач по данной теме различной степени сложности

• развивающая

• стимулировать стремления к овладению данной темой;
• развить умения применять полученные знания при решении задач различной направленности

• воспитательная

• повышение информационной культуры;
• воспитание инициативы, уверенности в своих силах.

Тип урока: урок обобщения знаний и совершенствования ЗУН.

План урока:

• опрос (повторение пройденного материала);
• отработка навыков перевода чисел из позиционной системы счисления с основанием р в десятичную и обратно;
• решение задач, содержащих числа в различных СС;
• проверка ЗУН по данной теме на заданиях ГИА (части А, В).

Позиционные системы счисления (опрос):

• что понимают под позиционными СС?
  СС, в которых «вес» (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в изображении числа
• что понимают под p - основанием позиционной СС?

p – количество знаков, используемых для представления (записи) чисел, а также «вес» разряда

• развернутая форма представления чисел в позиционных СС?

A p =a n p n + a n-1 p n-1 + . . . + a 2 p 2 + a 1 p1 + a 0 p 0

A p – само число в СС с основанием p

a i – значащие цифры числа

n – число разрядов числа

• свернутая форма представления целых чисел в позиционных СС?

A=a n a n-1 . . . a 2 a 1 a 0

где a n , a n-1 , . . . a 2 , a 1 , a 0 - значащие цифры числа

• какой формой записи чисел пользуемся в повседневной жизни?

свернутой формой представления чисел

Задания на запись чисел в различных формах представления

• Представить число А = 317 в развернутой форме записи

А = 3 · 10 2 + 1 · 10 1 + 7 ·10 0

• Представить число А 9 = 7 · 9 5 + 3 · 9 4 + 6 · 9 2 + 9 1 + 2 в свернутой форме записи

А 9 = 730612 9

Переводы чисел из десятичной СС в СС с основанием р

Правило перевода методом последовательного деления:

• необходимо последовательно делить данное число и получаемые частные на новое основание р до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя
• составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка в обратном порядке

Задания на переводы чисел из десятичной СС в систему с основанием р .

• Перевести число 23 в двоичную систему СС 2-мя способами

а) методом подбора (разложить число на степени основания 2)

23 = 22 + 1 = 16 + 6 + 1 = 16 + 4 + 2 + 1 = 2 4 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 10111 2

б) с помощью алгоритма делением

• Не выполняя вычислений, определить, сколько значащих 1 будет в двоичном представлении числа 65? (2)
• Сравните числа: а) 5 10 и 5 8 б) 111 2 и 111 8 (5 10 = 5 8 111 2 8 )

Переводы чисел из позиционной СС с основанием р в десятичную систему счисления

Правило перевода:

• представить число в развернутой форме
• вычислить сумму ряда

Полученный результат является значением числа в 10-ой СС.

Пример: число 3201 5 перевести в 10-ую СС

3201 5 = 3 · 53 + 2 · 52 + 0 · 51 + 1 · 50 = 3 · 125 + 2 · 25 + 1 = 426

3201 5 = 426

Задания на переводы чисел в десятичную СС

• Перевести число 101011 2 из двоичной CC в десятичную (101011 2 = 43)
• Вычислить сумму чисел 1021 3 + 210 5 , ответ представить в десятичной СС (89)
• Найти наименьшее из чисел (ответ: В)

А = 1021 3	В = 11 15	С = 10101 2	D = 121 9

Задачи на различные переводы чисел

• Было 53р груши. После того, как каждую разрезали пополам, стало 136 половинок.
  В СС с каким основанием вели счет?

Определяем, сколько было целых груш? 136: 2 = 68

а) метод подбора: 68 = 53р, значит р > 10.

Проверяем числа 11, 12 13. Находим: р = 13

б) с помощью вычислений:

Переводим 53р в десятичную СС и находим р:

53р = 5·р + 3 5р + 3 = 68 5р = 65 р = 13

• Встретили космонавты инопланетянина, который свободно разговаривал на земном языке. Выяснилось, что у гостя 13 сыновей и 23 дочери, а всего детей – 102. Найдите, какой системой счисления пользовался гость?

13 р + 23 р = 102 р р + 3 + 2р + 3 = р 2 + 2 р 2 - 3р - 4 = 0 Находим корни:

р 1 = 4; р 2 = -1 – не имеет смысла (Ответ: гость пользовался 4-ной СС)

• В каких системах счисления перевод числа 37 оканчивается на 7?

37 = 30 + 7

30 кратно 3, 5, 6, 10, 15, 30

Т.к. остаток равен 7 , значит 3, 5, 6-ричные СС – не подходят.
10 – исходная СС. Остается: 15-ричная, 30-ричная СС

Проверка навыков и умений переводов чисел в различных системах счисления – решение заданий в формате ГИА (части А, В).

Разбор заданий, подведение итогов.

Фамилия, Имя ______________________________ А1. Вычислите значение суммы в десятичной СС: 10 2 + 10 4 + 10 6 + 10 8 = ? 1. 22 2. 20 3. 18 4. 24 А2. Двоичным эквивалентом числа 60 является: 1. 111100 2. 10110 3. 110 4. 110101 А3. Сколько единиц содержит двоичная запись числа 25? 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 А4. В системе с некоторым основанием число 17 записывается как 101. Укажите это основание. 1. 2 2. 3 3. 4 4. 8 В1. В коробке 31 шар. Из них 12 красных и 17 желтых. В какой системе счисления такое возможно? В2. Даны 3 числа. Поставьте их в порядке убывания. А = 203 4 В = 10101 2 С = 135 6 А1 А2 А3 А4 1 2 3 4 В1 В2

Предварительный просмотр:

Системы счисления в заданиях ГИА Позиционные системы счисления свернутая форма представления целых чисел в позиционных СС? A=a n a n-1 . . . a 2 a 1 a 0 свернутой формой представления чисел (1945) какой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни? где a n , a n-1 , . . . a 2 , a 1 , a 0 - значащие цифры числа

Задания на запись чисел в различных формах представления Представить число А 9 = 7 · 9 5 + 3 · 9 4 + 6 · 9 2 + 9 1 + 2 в свернутой форме записи Системы счисления в заданиях ГИА Представить число А = 317 в развернутой форме записи А = 3 · 10 2 + 1 · 10 1 + 7 · 10 0 А = 317 2 1 0 А 9 = 73612 9

Переводы чисел из десятичной СС в СС с основанием р Правило перевода методом последовательного деления: необходимо последовательно делить данное число и получаемые частные на новое основание р до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя; составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка в обратном порядке. 10  2 19 2 9 18 1 2 4 8 1 2 2 4 0 2 1 2 0 19 = 10011 2 система счисления Системы счисления в заданиях ГИА

Задания на переводы чисел из десятичной СС Перевести число 23 в двоичную систему СС 2-мя способами Системы счисления в заданиях ГИА а) методом подбора (разложить число на степени основания 2) 23 = 22 + 1 23 = 10111 2 б) с помощью алгоритма делением Не выполняя вычислений, определить, сколько значащих 1 будет в двоичном представлении числа 65? 2 Сравните числа: 5 10 5 8 111 2 111 8 =

Переводы чисел из позиционной СС с основанием р в десятичную систему счисления Правило перевода: представить число в развернутой форме; вычислить сумму ряда. Полученный результат является значением числа в 10-ой СС. Пример: число 3201 5 перевести в 10-ую СС 3201 5 = 3 2 1 0 3 · 5 3 + 2 · 5 2 + 0 · 5 1 + 1 · 5 0 = = 3 · 125 + 2 · 25 + 1 = 426 3201 5 = 426 Системы счисления в заданиях ГИА

Число 101011 2 перевести в 10-ую СС 101011 2 = 43 Системы счисления в заданиях ГИА Задания на переводы чисел в десятичную СС Вычислить сумму чисел 1021 3 + 210 5 , ответ представить в десятичной СС Ответ: 89 Найти наименьшее из чисел А = 1021 3 В = 11 15 С = 10101 2 D = 121 9 34 16 21 100 Ответ: В

Задачи на различные переводы чисел Было 53 р груши. После того, как каждую разрезали пополам, стало 136 половинок. В СС с каким основанием вели счет? Системы счисления в заданиях ГИА Т.к. ответ дан в десятичной СС, определяем, сколько было целых груш? 136: 2 = 68 т.к. количество груш в СС с основанием р меньше, чем их число в десятичной СС, значит р > 10 . Проверяем числа ≥ 11. Находим: р = 13 а) метод подбора: б) с помощью вычислений: Переводим 53 р в десятичную СС и находим р: 53 р = 5 · р + 3 5р + 3 = 68 р = 13 68 = 53р

Космонавты встретили инопланетянина, который свободно разговаривал на земном языке. Выяснилось, что у гостя 13 сыновей и 23 дочери, а всего детей – 102. Найдите, какой системой счисления пользовался гость? Системы счисления в заданиях ГИА В каких системах счисления перевод числа 37 оканчивается на 7? 37 = 30 + 7 30 кратно 3, 5, 6, 10, 15, 30 Т.к. остаток 7 , значит основания 3, 5, 6 – не подходят. 10 – исходная СС. Остается: 15-ричная, 30-ричная СС Задачи на различные переводы чисел 13 р + 23 р = 102 р р + 3 + 2 · р + 3 = р 2 + 2 3р + 6 = р 2 + 2 р 2 – 3р – 4 = 0 (р – 4)(р + 1) = 0 р 1 = -1 – не имеет смысла р 2 = 4

Фамилия, Имя ______________________________ А1. Вычислите значение суммы в десятичной СС: 10 2 + 10 4 + 10 6 + 10 8 = ? 1. 22 2. 20 3. 18 4. 24 А2. Двоичным эквивалентом числа 60 является: 1. 111100 2. 10110 3. 110 4. 110101 А3. Сколько единиц содержит двоичная запись числа 25? 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 А4. В системе с некоторым основанием число 17 записывается как 101. Укажите это основание. 1. 2 2. 3 3. 4 4. 8 В1. В коробке 31 шар. Из них 12 красных и 17 желтых. В какой системе счисления такое возможно? В2. Даны 3 числа. Поставьте их в порядке убывания. А = 203 4 В = 10101 2 С = 135 6 А1 А2 А3 А4 1 2 3 4 В1 В2 Задания для проверки усвоения материала урока

Примеры решения

Задание №1.
Дано А=A716, B=2518. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A 1) 101011002
2) 101010102
3) 101010112
4) 101010002
Решение:
Переведём числа А=A716 и B=2518 в двоичную систему счисления, заменив каждую цифру первого числа соответствующей тетрадой, а каждую цифру второго числа – соответствующей триадой: A716= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.
Условию A Ответ: 101010002 (вариант 4).

Задание №2.
Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 3?
Решение:
Переведём число 35710 в троичную систему счисления:

Итак, 35710 = 1110203. Число 1110203 содержит 6 значащих цифр.
Ответ: 6.

Задание №3.
На какую цифру оканчивается запись десятичного числа 123 в системе счисления с основанием 6?
Решение:
Переведём число 12310 в систему счисления с основанием 6:

12310 = 3236.
Ответ: Запись числа 12310 в системе счисления с основанием 6 оканчивается на цифру 3.
Задания на выполнение арифметических действий над числами, представленными в разных системах счисления

Задание №4.
Вычислите сумму чисел X и Y, если X=1101112, Y=1358. Результат представьте в двоичном виде.
1) 110101002 2) 101001002 3) 100100112 4) 100101002
Решение:
Переведём число Y=1358 в двоичную систему счисления, заменив каждую его цифру соответствующей триадой: 001 011 1012. Выполним сложение:

Ответ: 100101002 (вариант 4).

Задание №5.
Найдите среднее арифметическое чисел 2368, 6С16 и 1110102. Ответ представьте в десятичной системе счисления.
Решение:
Переведём числа 2368, 6С16 и 1110102 в десятичную систему счисления:


Вычислим среднее арифметическое чисел: (158+108+58)/3 = 10810.
Ответ: среднее арифметическое чисел 2368, 6С16 и 1110102 равно 10810.

Задание №6.
Вычислите значение выражения 2068 + AF16 ? 110010102. Вычисления производите в восьмеричной системе счисления. Переведите ответ в десятичную систему.
Решение:
Переведём все числа в восьмеричную систему счисления:
2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128
Сложим числа:

Переведём ответ в десятичную систему:

Ответ:51110.

Задания на нахождение основания системы счисления

Задание №7.
В саду 100q фруктовых деревьев: из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 17q вишен. Найдите основание системы счисления, в которой посчитаны деревья.
Решение:
Всего в саду 100q деревьев: 100q = 33q+22q+16q+17q.
Пронумеруем разряды и представим данные числа в развёрнутой форме:


Ответ: Деревья посчитаны в системе счисления с основанием 9.

Задание №8.
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Решение:
Примем за х основание неизвестной системы счисления и составим следующее равенство:
1810 = 30x;


Ответ: десятичное число 18 записывается в виде 30 в системе счисления с основанием 6.

Задание №9.
Найдите основание x системы счисления, если известно, что 2002x = 13010.
Решение:
Пронумеруем разряды и запишем данные числа в развёрнутой форме:

Ответ:4.